ESA 2023 – 24 - Resolvidos

Área: Geral                            Tipo de Prova: A

01. No Rancho de uma unidade militar há a opção de três pratos de proteína (frango, bife e ovo), três pratos de acompanhamento (farofa, arroz e macarrão) e dois pratos de sobremesa (doce de leite e gelatina). Os militares devem pegar apenas um item de cada prato. Desta forma, podem-se montar quantos tipos de refeições distintas?

A) 10  

B) 12

C) 14

D) 16

E) 18

Solução:

A unidade militar tem três opções de pratos de proteína: frango, bife e ovo.

Ela também tem três opções de pratos de acompanhamento: farofa, arroz e macarrão.

E, por fim, tem duas opções de pratos de sobremesa: doce de leite e gelatina.

Para determinar quantas combinações distintas de refeições podem ser montadas, basta multiplicar o número de opções de cada categoria. Isso ocorre porque, para cada opção de proteína, há uma combinação única de acompanhamento e sobremesa.

Número de opções de proteína: 3

Número de opções de acompanhamento: 3

Número de opções de sobremesa: 2

Agora, multiplicamos esses números para encontrar o total de combinações possíveis:

Total de combinações = Número de opções de proteína × Número de opções de acompanhamento × Número de opções de sobremesa

Total de combinações = 3 × 3 × 2

Total de combinações = 18

Portanto, é possível montar 18 tipos diferentes de refeições distintas com as opções disponíveis de proteína, acompanhamento e sobremesa no rancho da unidade militar.

02. Em um determinado quartel, o comandante determinou que, no primeiro dia de treinamento da nova turma, os recrutas deveriam realizar 20 flexões de braço e aumentar 5 flexões por dia ao longo do curso. Mantida essas condições, em 2 meses, quantas flexões cada recruta terá executado? (Considere o mês com 30 dias)

A) 10.500

B) 8.225

C) 2.805

D) 3.350

E) 10.050

Fórmula para o termo geral de uma progressão aritmética: ${�}_{�}={�}_1+(�-1)\cdot �$

Onde:

• ${�}_{�}$ é o $�$-ésimo termo da progressão.
• ${�}_1$ é o primeiro termo.
• $�$ é o número do termo.
• $�$ é a razão (diferença entre os termos da progressão).

Aplicação ao problema das flexões de braço: ${�}_{�}=20+(60-1)\cdot 5$ ${�}_{�}=20+295$ ${�}_{�}=315$

Fórmula para a soma dos $�$ primeiros termos de uma progressão aritmética: ${�}_{�}=\frac{�}{2}\cdot ({�}_1+{�}_{�})$

Onde:

• ${�}_{�}$ é a soma dos primeiros $�$ termos da progressão.
• $�$ é o número de termos.
• ${�}_1$ é o primeiro termo.
• ${�}_{�}$ é o $�$-ésimo termo da progressão.

Aplicação ao problema das flexões de braço: ${�}_{60}=\frac{60}{2}\cdot (20+315)$ ${�}_{60}=30\cdot 335$ ${�}_{60}=10050$

• 
  
• Obs:
• a1​=20 (primeiro dia).
• $�=60$ (duração de 2 meses, considerando 30 dias em cada mês).
• $�=5$ (aumento diário).

---

outra resolução:

a1 = 20

r = 5 

2 meses = 60 dias

a60 = a1 + 59r 

a60 = 20 + 59.5 = 20 + 295

a60 = 315

S60 (a1+a60)n/2 = (20 + 315) . 30 = 335 . 30 = 10050

03. Em uma instrução de orientação diurna, um aluno da Escola de Sargentos das Armas foi colocado na origem de um sistema cartesiano ortogonal  𝑂𝑥 𝑒 𝑂𝑦 . Considerando que ele dê exatamente 4 passos, um de cada vez, nas direções norte (N) ou leste (L), quantas trajetórias ele poderá percorrer?

A) 32

B) 12

C) 4

D) 36

E) 16

solução:

Imagine que o aluno esteja em uma encruzilhada e ele tem que escolher entre duas direções a cada passo: norte (N) ou leste (L). Ele precisa dar exatamente 4 passos.

Vamos acompanhar o processo passo a passo:

1. Primeiro passo: ele pode escolher N ou L.
2. Segundo passo: novamente, ele pode escolher N ou L.
3. Terceiro passo: mais uma vez, ele tem as opções N ou L.
4. Quarto passo: por fim, ele precisa escolher N ou L.

Agora, vamos contar quantas escolhas diferentes ele pode fazer para cada passo. Para cada passo, ele tem 2 opções: N ou L.

Como ele precisa tomar 4 decisões, o número total de trajetórias possíveis é o produto das opções em cada passo:

Número total de trajetórias = Opções do primeiro passo × Opções do segundo passo × Opções do terceiro passo × Opções do quarto passo

Número total de trajetórias = 2 × 2 × 2 × 2 = 2^4 = 16

Portanto, o aluno pode percorrer um total de 16 trajetórias possíveis. Cada trajetória representa uma combinação única de decisões para ir para o norte (N) ou para o leste (L) em cada um dos 4 passos.

04. Em um exercício militar, uma Companhia de Engenharia deve construir uma ponte  para  ligar  as  margens  paralelas  de  um  rio.  Para  isso,  o  Cap  Delta, engenheiro militar responsável pela missão, fixou um ponto A na margem do rio em  que  estava,  e  um  ponto  B  na  margem  oposta,  de  forma  que  𝐴𝐵 ̅̅̅̅    fosse perpendicular às margens do rio. Para determinar o comprimento da ponte a partir do ponto A, o Cap Delta caminhou 50 metros paralelamente à margem até o ponto C e mediu o ângulo  𝐴𝐶̂ 𝐵, obtendo  60°. Considerando  √3 = 1,7. Marque a alternativa que apresenta o comprimento da ponte que deverá ser construída para o exercício.

A) 25 metros

B) 42,5 metros

C) 50 metros 

D) 85 metros 

E) 100 metros

Solução:

tan(60∘)=50AB​⇒3​=50AB​⇒AB=50⋅3​≈50⋅1,7≈85                                                  Portanto, o comprimento da ponte que deve ser construída é de aproximadamente 85 metros.

05 Determinado quartel tem caixas d’água no formato cilíndrico. Os militares do Pelotão de Obras receberam a missão de pintar uma caixa d’água deste quartel. Ajude-os a fazer o orçamento da obra encontrando a área total dessa caixa d’água,  sabendo  que  sua  altura  é  de  15m  e  que  seu  diâmetro  mede  5m. (Considere 𝜋 = 3,14)

A) 360 𝑚2                  

B) 152,5 𝑚2             

C) 235,25 𝑚2         

D) 196,25 𝑚2         

E) 254,4 𝑚2  

Questão foi anulada por não ter a opção correta 274,75 𝑚2

Para encontrar a área total da caixa d'água, precisamos calcular a área lateral (que é a parte cilíndrica) e a área dos dois círculos (base superior e base inferior).

A área lateral do cilindro é dada por:

${�}_{\text{lateral}}=2��ℎ$

Onde:

• $�$ é a constante pi (aproximadamente 3,14)
• $�$ é o raio da base do cilindro (metade do diâmetro, ou seja, $�=\frac{5}{2}$)
• $ℎ$ é a altura do cilindro (15 metros)

A área de cada círculo (base superior e base inferior) é dada por:

${�}_{\text{c}\acute{\text{ı}}\text{rculo}}=�{�}^2$

Agora podemos calcular a área total somando as áreas lateral e dos dois círculos:

${�}_{\text{total}}={�}_{\text{lateral}}+2\cdot {�}_{\text{c}\acute{\text{ı}}\text{rculo}}$

Substituindo os valores:

${�}_{\text{lateral}}=2\cdot 3,14\cdot \frac{5}{2}\cdot 15$ ${�}_{\text{c}\acute{\text{ı}}\text{rculo}}=3,14\cdot {\left(\frac{5}{2}\right)}^2$

Calculando as áreas:

${�}_{\text{lateral}}=235,5{\text{m}}^2$ ${�}_{\text{c}\acute{\text{ı}}\text{rculo}}=19,625{\text{m}}^2$

Agora, somando as áreas:

${�}_{\text{total}}=235,5+2\cdot 19,625$ ${�}_{\text{total}}=274,75{\text{m}}^2$

Portanto, a área total da caixa d'água é aproximadamente $274,75{\text{m}}^2$.

06. Um balão esférico está sendo inflado. Seu volume é dado em função do tempo 𝑡 (contado em minutos), através da seguinte relação 𝑉 = 2𝑡. Qual será o tempo necessário para que o balão infle, até atingir o volume de 18 𝑚3? A) 9 minutos  B) 12 minutos  C) 6 minutos  D) 24 minutos  E) 18 minutos

Para determinar o tempo necessário para o balão inflar até atingir o volume de 18 ${�}^3$, podemos igualar a equação dada $�=2�$ ao valor do volume desejado e resolver para $�$:

$�=2�$

Substituindo $�=18$:

$18=2�$

Agora, isolamos $�$ dividindo ambos os lados da equação por 2:

$�=\frac{18}{2}$

$�=9$

Portanto, o tempo necessário para que o balão infle até atingir o volume de 18 ${�}^3$ é de 9 minutos.

07. O valor da soma dos elementos do conjunto solução da equação |4𝑥 − 5| = 2𝑥 − 1, é igual a:

A) 6

B) 5

C) 4

D) 3

E) 2

Vamos resolver a equação $\mathrm{\mid }4�-5\mathrm{\mid }=2�-1$ para encontrar o conjunto solução e, em seguida, calcular a soma dos elementos desse conjunto.

1. Primeiro, vamos tratar das duas possíveis situações para o valor absoluto:

   a) Quando $4�-5$ é positivo ou zero: $4�-5=2�-1$

   Resolvendo essa equação:

   $4�-2�=5-1$

   $2�=4$

   $�=2$

   b) Quando $4�-5$ é negativo: $4�-5=-(2�-1)$

   Resolvendo essa equação:

   $4�-5=-2�+1$

   $4�+2�=5+1$

   $6�=6$

   $�=1$

Agora temos dois valores possíveis para $�$: $�=2$ e $�=1$.

2. Agora, vamos calcular a soma dos elementos do conjunto solução:

A soma dos elementos é simplesmente a soma dos valores de $�$:

$����=2+1=3$

Portanto, o valor da soma dos elementos do conjunto solução da equação é igual a 3.

09. Em  uma determinada  aula  de  Geometria  Analítica, uma  candidata  do Concurso da ESA, da área da saúde, deparou-se com a seguinte situação 𝑥 2 + 𝑦 2 = 2𝑥 + 2𝑦 − 1. Ao desenvolver essa igualdade a estudante obteve:

A) Uma circunferência centrada na origem.

B) Uma circunferência de centro -1 e -1 e raio 2.

C) Uma circunferência de centro -1 e -1 e raio √2.

D) Uma circunferência de centro 1 e 1 e raio 1.

E) Nenhuma das alternativas anteriores.

A equação dada ${�}^2+{�}^2=2�+2�-1$ não está na forma padrão de uma equação da circunferência $(�-ℎ{)}^2+(�-�{)}^2={�}^2$, onde $(ℎ,�)$ é o centro da circunferência e $�$ é o raio.

Vamos reorganizar a equação dada para colocá-la nessa forma padrão:

${�}^2-2�+{�}^2-2�=-1$

Completando o quadrado para as partes $�$ e $�$:

${�}^2-2�+1+{�}^2-2�+1=-1+1+1$

$(�-1{)}^2+(�-1{)}^2=1$

Agora, temos a equação na forma padrão de uma circunferência:

$(�-1{)}^2+(�-1{)}^2=1$

Isso nos diz que o centro da circunferência é $(1,1)$ e o raio é $1$. Portanto, a estudante obteve uma circunferência com centro em $(1,1)$ e raio igual a $1$ ao desenvolver a equação dada.

10. Para avançar ao Rancho, 8 (oito) soldados, entre eles o Sd Alfa e o Sd Bravo, são colocados em fila. Pode-se afirmar que a probabilidade desses dois militares ficarem juntos é de:

A) 50%

B) 40%

C) 25%

D) 20%

E) 12,5%

Vamos calcular a probabilidade de que os soldados Sd Alfa e Sd Bravo fiquem juntos na fila.

Primeiro, vamos considerar que existem $8$ posições possíveis na fila para colocar esses $2$ soldados.

Agora, vamos calcular o número de casos favoráveis em que Sd Alfa e Sd Bravo estão juntos na fila. Isso significa que eles podem ocupar $2$ posições adjacentes na fila.

Se considerarmos Sd Alfa como A e Sd Bravo como B, temos duas maneiras de dispor AB ou BA.

Então, temos $2$ casos favoráveis.

A probabilidade de um evento acontecer é dada por:

$\text{Probabilidade}=\frac{\text{N}\acute{\text{u}}\text{mero de Casos Favor}\acute{\text{a}}\text{veis}}{\text{N}\acute{\text{u}}\text{mero de Casos Poss}\acute{\text{ı}}\text{veis}}$

No caso, o número de casos possíveis é $8$, e o número de casos favoráveis é $2$.

Portanto, a probabilidade de que Sd Alfa e Sd Bravo fiquem juntos na fila é:

$\text{Probabilidade}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$

Isso significa que a probabilidade é $25\mathrm{\%}$.

11. A nova sede da Escola de Sargentos do Exército (ESE) será construída na região  metropolitana  de  Recife-PE. O marco  zero  dessa belíssima cidade encontra-se  na  região  portuária  denominada  “Recife  Antigo”. Ao realizar  a medição em um mapa de escala 1: 95000 cm, a distância entre o marco zero de Recife e o local de construção da nova sede da ESE, encontramos 55 cm. A distância real, em quilômetros, entre esses dois pontos citados é de:

A) 45,2 Km

B) 42,5 Km

C) 52,25 Km

D) 5,225 Km

E) 42,25 Km

Para encontrar a distância real entre o marco zero de Recife e o local de construção da nova sede da ESE, podemos usar a escala fornecida e fazer uma regra de três simples.

A escala é 1:95000, o que significa que 1 cm no mapa representa 95000 cm na realidade.

Dado que a distância no mapa é 55 cm, podemos usar a regra de três para encontrar a distância real $�$:

$1\text{ cm no mapa}:95000\text{ cm na realidade}=55\text{ cm no mapa}:�\text{ cm na realidade}$

Resolvendo para $�$:

$�=\frac{55\text{ cm}\times 95000\text{ cm}}{1\text{ cm}}$

Agora, convertendo essa distância para quilômetros, lembrando que $1\text{ km}=100000\text{ cm}$:

$�=\frac{55\text{ cm}\times 95000\text{ cm}}{1\text{ cm}}\times \frac{1\text{ km}}{100000\text{ cm}}$

$�=\frac{55\times 95000}{100000}\text{ km}$

$�=52.25\text{ km}$

Portanto, a distância real entre o marco zero de Recife e o local de construção da nova sede da ESE é de 52.25 quilômetros.