ESA/CFS 2024 - 25 - QUESTÕES DE MATEMÁTICA COMENTADAS

Concurso de Admissão 2023 aos Cursos de Formação e Graduação de Sargentos 2024 – 25

Área: Geral        Tipo de Prova: A   Matemática

01. (ESA 2024) Em uma Organização Militar, existe um grupo com 8 militares, sendo 4 militares do segmento masculino e 4 militares do segmento feminino. Desse grupo, o comando decidiu escolher 3 militares para realizar o Estágio de Operações do Pantanal. Qual a probabilidade de exatamente um militar do segmento masculino ser escolhido?

a) 1/4   b) 3/4    c) 3/7   d) 4/7     e) 1/2

Primeiro, calculamos o número de maneiras de escolher 1 militar masculino de 4, que é uma combinação simples:

C(4,1)= 4!​ / 1!(4−1)! = 4

Agora, calculamos o número de maneiras de escolher 2 militares femininos de 4:

C(4,2)=4! / 2!(4−2)!​= 4×3 / 2×1​=6

O número total de maneiras de escolher 3 militares de 8 é:

C(8,3)=8!​ / 3!(8−3)!= 8×7×6 / 3×2×1​=56

Agora, multiplicamos as maneiras de escolher 1 militar masculino e 2 militares femininos para encontrar o número de maneiras de que o evento desejado ocorra:

$$4\times 6=24$$

Por fim, calculamos a probabilidade dividindo o número de maneiras do evento desejado pelo número total de maneiras de escolher 3 militares:

P= 24/56​ = 3/7​

Portanto, a probabilidade de exatamente um militar do segmento masculino ser escolhido é 3/7, que corresponde à alternativa C).

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02. (ESA 2024) Que número deve ser adicionado a 2022² para obter 2023²?

 A) 4045

 B) 4043    

 C) 4042

 D) 4048

 E) 4044

Resolução da Questão 2 (ESA 2024):

Objetivo: Encontrar o número que deve ser adicionado a 2022² para obter 2023². Análise: Observando que 2023² é o quadrado de um número consecutivo a 2022, podemos utilizar a propriedade de fatoração de diferença de quadrados: (a + b)(a - b) = a² - b² Substituindo a e b pelos valores 2023 e 2022, respectivamente: (2023 + 2022)(2023 - 2022) = 2023² - 2022² Simplificando: 4045 * 1 = 2023² - 2022² Resposta: Portanto, o número que deve ser adicionado a 2022² para obter 2023² é 4045.

03. (ESA 2024) Considerando uma Progressão Aritmética (PA) com o primeiro termo igual a 3 e cuja razão é igual a 7, o décimo oitavo termo dessa progressão aritmética é igual a:

A) 100

B) 111
C) 120
D) 122
E) 131
Resolução da Questão 3 (ESA 2024):

• an = a1 + r(n - 1)

• an: n-ésimo termo

• a1: Primeiro termo

• r: Razão

• n: Posição do termo

• a18 = 3 + 7(18 - 1)

• a18 = 3 + 7 * 17

• a18 = 3 + 119

• a18 = 122
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04. (ESA 2024) Assinale a alternativa que apresenta o valor de log₈ ⁸√64.

A) 1 / 2 

B) 1 / 4 

C) 1 / 8 

D) 1 /16 

E) 1 / 64

Solução do problema

Primeiro iremos simplificar  ⁸√64.

64 = 8² ou  64 = 2⁶, observe que log₈ , então vamos usar tudo na base 8 .

Assim,  ⁸√64 = ⁸√8²

Passando expoente racional fracionário, ⁸√64 = ⁸√8² = 8^(2/8) = 8^(1/4)  

Agora sim vamos para logaritmo:

log₈ ⁸√64

log₈ 8^(1/4) 

(1/4) · log₈ 8

(1/4) · 1

1/4

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05. (ESA 2024) Um número que figura entre 1 e 300 é escolhido aleatoriamente. Qual a probabilidade de que ele seja divisível por 3 ou por 5?

A) 1 /3 

B) 1/ 15 

C) 7 /10 

D) 7 /12 

E) 7 /15

Solução da questão 

Para calcular a probabilidade de um número entre 1 e 300 ser divisível por 3 ou 5, precisamos encontrar os múltiplos desses dois números dentro desse intervalo. Vamos lá:

Agora, para calcular a probabilidade, dividimos o número total de números divisíveis por 3 ou 5 (100 + 60 - 20 = 140) pelo total de números entre 1 e 300 (300):

Probabilidade=140 / 300​=14 / 30​= 7 / 15​

Portanto, a probabilidade de um número escolhido aleatoriamente entre 1 e 300 ser divisível por 3 ou 5 é 7/15.

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06.(ESA 2024) Considerando log 2 = t/2, assinale a alternativa que apresenta o valor de 𝑥, sabendo que:

a) 𝑥 =  

 t 
 2 

+ 1
b) 𝑥 =  

 t 
 2

  - 1
c) 𝑥 =  

 t 
 3

  + 1
d) 𝑥 =  

 t 
 3

 + 2
e) 𝑥 =  

 t 
 3

  - 2

Solução: 
Iremos utilizar a seguinte propriedade dos logaritmos:
log_a (b/c) = log_a b - log_a c
Observaçao:  nos logaritmos quando a base foi omitida, considerar que a base é igual a 10.  Ou seja, log 3 é o mesmo que log₁₀ 3.
Desenvolvendo a soma dos logaritmos dados na questão:
x = log 2 - log3 + log 3 - log 4 + log 4 - log 5 + ..... + log 8 - log 9 + log 9 - log 10
onde (an) é o último termo da série. término da observação
Voltando na questão 
(*) x = log 2 - log 10 
Substituindo conforme dados da questão da ESA  log 2 = t/2    temos x = 

 t  
 2

​ − log 10

E como o logaritmo de 10 na base 10 é 1, a expressão se simplifica para:

x =  

 t 
 2

  - 1

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​07. (ESA 2024) As bases de um trapézio isósceles medem 14 cm e 30 cm, respectivamente. A soma dos lados não paralelos é igual a 34 cm. Qual a altura desse trapézio? 

A) 15 cm 

B) 12 cm 

C) 20 cm 

D) 17 cm 

E) 25 cm

Ilustração  do trapézio isósceles com as medidas informadas pela questão.

Resolução do problema do triângulo retângulo:

Problema: Encontrar a altura de um triângulo retângulo, dado a hipotenusa e um dos catetos.

Dados:

• Hipotenusa (c) = 17 cm
• Base (b) = 8 cm

Objetivo: Encontrar a altura (h) do triângulo.

Solução:

1. Fórmula:

   Utilizamos o Teorema de Pitágoras, que estabelece que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos outros dois lados (base e altura).

   Fórmula: h² = c² - b²

2. Substituindo os valores:

   Substituindo os valores conhecidos na fórmula, obtemos:

   h² = 17² - 8² h² = 289 - 64 h² = 225

3. Calculando a altura:

   Para encontrar a altura (h), precisamos extrair a raiz quadrada de ambos os lados da equação:

   h = √225 h = 15 (considerando a raiz quadrada positiva, pois a altura de um triângulo não pode ser negativa)

Resposta:

A altura do triângulo retângulo é de 15 cm.

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08. (ESA 2024) Seja 𝑇 o único número natural que é primo e par. Considerando: 𝑓(𝑥) = (0,25)^−𝑥 + 𝑥 − 1, qual será o valor de𝑓(𝑇)? 

A) 7  

B) 11         

C) 14         

D) 17         

E) 23

Etapa 1: Identificando o Único Número Primo e Par

O número 2 se destaca no universo dos números naturais por ser o único que é simultaneamente primo e par. Um número primo é definido por ter exatamente dois divisores distintos: 1 e ele mesmo. Isso significa que, além de 1, não há outro número natural que divida um número primo sem deixar resto.

Todos os números pares, por definição, são divisíveis por 2. Isso inclui o próprio número 2, mas também todos os outros números pares como 4, 6, 8, e assim por diante. No entanto, enquanto o número 2 é divisível apenas por 1 e por si mesmo, os outros números pares têm pelo menos três divisores: 1, 2 e o próprio número. Isso os classifica como números compostos, pois possuem mais de dois divisores.

Para ilustrar com um exemplo, tomemos o número 4. Ele pode ser dividido igualmente por 1, 2 e 4, tornando-o composto. O mesmo raciocínio se aplica a qualquer outro número par maior que 2. Por outro lado, o número 2 não pode ser dividido igualmente por nenhum outro número além de 1 e 2, o que o qualifica como primo.

Portanto, o número 2 é único: é o menor e o único número par entre os primos, uma verdadeira exceção à regra que associa números pares à composição. Isso não apenas faz do 2 um número fascinante, mas também um ponto de partida essencial para o estudo dos números primos e suas propriedades.

O único número natural que é primo e par é o número 2 . Por definição, um número primo possui exatamente dois fatores: 1 e ele mesmo. Todos os números pares, exceto 2, são divisíveis por 2, tornando-os números compostos (números com mais de dois fatores). Portanto, 2 é o único número primo e par.

Etapa 2: Substituindo T por 2 em f(x)

substituir T por 2 na função f(x):

f(T) = f(2)

Etapa 3: Calculando (0.25)^(-2)

 (0,25)⁻² como 16:

(0,25)⁻² = 1/(0,25)⁻² = 1/(1/4)² =  1/(1/16) = 16 

Etapa 4: Substituindo Valores e Simplificando

Substituir  o valor calculado de  (0,25)⁻² na função e simplifica a expressão:

𝑓(𝑥) = (0,25)^−𝑥 + 𝑥 − 1

f(2) = 16 + 2 - 1 

f(2) = 18 - 1

f(2) = 17

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09. (ESA 2024) Sendo 𝑥 ∈ ℝ, marque a alternativa que representa o conjunto solução da seguinte inequação: (8 − 2𝑥)⁴ ≤ 0. 

A) 𝑆 = {3}
B) 𝑆 = {4}
C) 𝑆 = {5}
D) 𝑆 = {7}
E) 𝑆 = {∅}

Explicando passo a passo como chegar à solução da inequação  (8 − 2𝑥)⁴ ≤ 0

1. Entendendo a Inequação:

   • Temos a inequação (8 − 2𝑥)⁴ ≤ 0.
   • Queremos encontrar os valores de ( x ) que tornam essa expressão menor ou igual a zero.

2. Identificando a Solução:

   • Lembre-se de que uma potência de expoente par sempre resulta em um número não negativo (positivo ou zero).
   • Portanto, a única maneira de (8 − 2𝑥)⁴ ser menor ou igual a zero é se ( 8 - 2x = 0 ).

3. Resolvendo a Equação:

   • Igualamos a expressão a zero: [ 8 - 2x = 0 ]
   • Isolamos o termo com ( x ): [ 2x = 8 ] [ x = 4]

4. Verificando a Expressão para Outros Valores de ( x ):

   • Agora, verificamos se a expressão (8 − 2𝑥)⁴  é positiva para valores diferentes de 4.
   • Se escolhermos qualquer valor diferente de 4 para ( x ), a expressão será positiva.

5. Conclusão:

   • A única solução que torna a expressão igual a zero é ( x = 4 ).
   • Portanto, o conjunto solução da inequação é ( S = {4} ), que corresponde à alternativa (B).
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10. (ESA 2024) Considere os seguintes números: 𝑥 = 1 + 2𝑖 e 𝑦 = 3 + 4𝑖. Assinale a alternativa que apresenta o valor de 𝜃, sendo 𝜃 = 𝑥² − 𝑦. 

A) −2    

B) 3         

C) 4         

D) 5         

E) −6

Resolver a expressão 𝜃 = 𝑥² − 𝑦 passo a passo, onde 𝑥 = 1 + 2𝑖 e 𝑦 = 3 + 4𝑖.

Calculando 𝑥²: Primeiro, vamos calcular o quadrado de 𝑥: 𝑥² = (1 + 2𝑖)² ⇒ 𝑥² = 1² + 2 ⋅ 1 ⋅ 2𝑖 + (2𝑖)² ⇒ 𝑥² = 1 + 4𝑖 + 4𝑖². Como 𝑖² = -1, temos: 𝑥² = 1 + 4𝑖 - 4 ⇒ 𝑥² = -3 + 4𝑖.

Subtraindo 𝑦 de 𝑥²: Agora, vamos subtrair 𝑦 de 𝑥²: 𝜃 = 𝑥² - 𝑦 ⇒ 𝜃 = (-3 + 4𝑖) - (3 + 4𝑖) ⇒ 𝜃 = -3 + 4𝑖 - 3 - 4𝑖. Os termos imaginários se cancelam, então: 𝜃 = -3 - 3 ⇒ 𝜃 = -6. Portanto, o valor de 𝜃 é -6, que corresponde à alternativa (E).

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11. (ESA 2024) No início do século passado, foi criado na matemática o gugol, número que inspirou o nome do famoso site de pesquisa. Sabendo que 1 gugol equivale a 10¹⁰⁰ e imaginando, hipoteticamente, um quadrado de área igual a 1 gugol, marque a alternativa que representa o valor da diagonal desse quadrado.

a) 10⁵⁰ √2 
b) 10⁵⁰ √3 
c) 10¹⁰⁰ √2 
d) 10¹⁰⁰ √3 
e) 10^50  3√3

Para resolver essa questão, vamos considerar que a área do quadrado é igual a 1 gugol, que é (10¹⁰⁰). A fórmula para a área de um quadrado é (A = l²), onde (l) é o comprimento de um lado do quadrado. Portanto, se a área (A) é (10¹⁰⁰), então:

 l² = 10¹⁰⁰  ⇒   l = √10¹⁰⁰ ⇒  (10¹⁰⁰)^1/2  ⇒ l = 10⁵⁰

Agora, para encontrar a diagonal (d) de um quadrado, usamos a fórmula (d = l√2), pois a diagonal divide o quadrado em dois triângulos retângulos isósceles. Substituindo (l) por (10⁵⁰), temos:

[ d = 10⁵⁰√2 ]

Portanto, a diagonal de um quadrado com área igual a 1 gugol é (10⁵⁰√2), o que corresponde à alternativa (A).

12. (ESA 2024) Em um triângulo retângulo ABC, com ângulo reto em C, sabe-se que tg  = 2.  Marque a alternativa que representa o valor de sen Â.

a) sen  = 2√5

                    3

b) sen  = 3√5

                    3

c) sen  = 2√5

                    5

d) sen  = 3√5  

                    5

e) sen  = 3√5

                    7

Solução:

Se temos tg  = 2, isso significa que o cateto oposto é o dobro do cateto adjacente ao ângulo  em um triângulo retângulo. Então, se o cateto adjacente é k, o cateto oposto será 2k.

Usando o Teorema de Pitágoras (a² + b² = c²), onde c é a hipotenusa, podemos encontrar o valor de k:

(2k)² + k² = c²  ⇒ 4k² + k² = c²  ⇒ 5k² = c²

A hipotenusa c será: 

c = √(5k²) c = k√5

O seno de Â, que é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa, será:

sen  = (2k) / (k√5) sen  = 2 / √5

Racionalizando o denominador, multiplicamos o numerador e o denominador por √5:

sen  = 2√5

                 5

Portanto, a alternativa correta é:

c) sen  = 2√5

                    5   

Explicando a pedido

Em um triângulo retângulo, a tangente (tg) de um ângulo é a razão entre o comprimento do cateto oposto e o comprimento do cateto adjacente a esse ângulo. Se tg  = 2, isso indica que o comprimento do cateto oposto é duas vezes o comprimento do cateto adjacente.

Se chamarmos o cateto adjacente de k, então o cateto oposto será 2k. Aqui está uma representação visual:

     /|
    / |
   /  |
  /   | 2k (cateto oposto)
 /    |
/_____|
   k (cateto adjacente)

A relação é expressa como:

tg  = (cateto oposto) / (cateto adjacente) = 2k / k = 2

Isso confirma que o cateto oposto é o dobro do cateto adjacente. Com essa relação, podemos aplicar o Teorema de Pitágoras para encontrar a hipotenusa e, depois, calcular o seno de Â, que é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.

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13. (ESA 2024) Considerando o ponto P (-1,-3) e o ponto Q (3,5), marque a alternativa que expressa a equação da reta que passa pelo ponto P e Q. 

A) 3𝑥 − 5𝑦 + 2 = 0

B) 2𝑥 + 𝑦 + 1 = 0 

C) 5𝑥 + 2𝑦 − 3 = 0 

D) 2𝑥 − 𝑦 − 1 = 0 

E) 3𝑥 − 5𝑦 − 5 = 0

Solução da questão sobre Equação da Reta 

Passo 1: Coeficiente Angular (m)

O coeficiente angular (m) indica a inclinação da reta. Ele é calculado pela diferença das coordenadas y dos pontos, dividida pela diferença das coordenadas x dos pontos.

Passo 2: Cálculo do Coeficiente Angular (m)

Utilize os pontos P(-1, -3) e Q(3, 5) para calcular m:

m = (y_Q - y_P) / (x_Q - x_P)

m = (5 - (-3)) / (3 - (-1))

m = 8 / 4

m = 2

Passo 3: Fórmula Ponto-Inclinação

A fórmula ponto-inclinação é:

y - y_1 = m(x - x_1)

Onde:

• (x_1, y_1) é um ponto por onde a reta passa.
• m é o coeficiente angular.

Passo 4: Aplicando a Fórmula com o Ponto P

Utilizando o ponto P(-1, -3):

y - (-3) = 2(x - (-1))

y + 3 = 2(x + 1)

y = 2x + 2 - 3

y = 2x - 1

Passo 5: Forma Geral da Equação da Reta

A forma geral da equação da reta é:

Ax + By + C = 0

Rearranjando a equação:

-2x + y + 1 = 0

Passo 6: Combinando com as Alternativas

Multiplicando por -1:

2x - y - 1 = 0

Conclusão:

A equação da reta que passa pelos pontos P e Q é:

2x - y - 1 = 0

Correspondendo à alternativa D.

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14. (ESA 2024) Durante a construção de uma ponte pela engenharia militar, o sargento responsável observou que a máquina que preparava concreto enchia uma coluna seguindo a função 

, sendo 𝑉 o volume preenchido em metros cúbicos (𝑚³) e 𝑡 o tempo em minutos. Assinale a alternativa que indica o tempo necessário para o preenchimento de um volume igual a 2 𝑚³.

− 

A) 4 minutos  

B) 6 minutos         

C) 8 minutos         

D) 10 minutos         

E) 12 minutos

Encontrando o  tempo (t) necessário para o preenchimento de um volume igual a 2 𝑚³, temos que substituir V(t) por 2 na função exponencial e descobrir qual é o valor de t.

2 = 2 · (2^(t/12) - 1)

2/2 = 2^(t/12) - 1

1 = 2^(t/12) - 1

2^(t/12)  = 2 

2^(t/12)  = 2¹

t/12 = 1

t = 12 minutinhos 

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